🎯 Clase 6/6 · PAA Intensivo

La Prueba de Aptitud Académica no premia la memoria: mide tu razonamiento, es decir, qué tan bien usas lo que ya sabes bajo presión de tiempo. Y como toda prueba estandarizada, es predecible a propósito: conoces de antemano cada sección, cada cantidad de preguntas y cada minuto disponible. Gestionarla bien es como atender una guardia de emergencias: tienes estaciones asignadas con tiempos fijos, haces triage (resuelves primero lo rápido y dejas marcado lo lento) y —regla de oro— a ningún paciente se le deja sin evaluar. En la PAA, la regla equivalente es brutal y a tu favor: no hay penalización por error, así que jamás debe quedar una casilla vacía; un 20 % de aciertos por adivinar es infinitamente mejor que un cero.

La estructura completa son 175 preguntas en 3 horas: Lectura (45 preguntas, 50 min), Matemáticas (55, 60 min), Redacción (25, 30 min) e Inglés (50, 40 min). Cada parte se califica en una escala de 200 a 800, y la nota PAA que llega a USFQ se calcula sobre 2400 (Aptitud Verbal 1200 + Aptitud Matemática 1200); para la beca que buscas, la meta es 2150 — los cortes exactos verifícalos con USFQ en cada convocatoria. Convierte cada parte en un ritmo antes del examen: Matemáticas te da ~1,09 min por pregunta, Lectura ~1,11, Redacción ~1,20 e Inglés apenas ~0,8. Si una pregunta no cede en ~40 segundos, márcala en la hoja y avanza: el PAA premia a quien cosecha las 40 fáciles antes de sangrar tiempo en las 5 difíciles.

Última pieza de la estrategia general: elimina antes de elegir. En preguntas de selección múltiple no necesitas "saber" la respuesta, solo reconocer la correcta entre cuatro. Toda opción que contradiga los datos, que use palabras extremas (siempre, nunca, totalmente) o que responda una pregunta distinta muere primero. Con tres sospechosos eliminados, tu probabilidad de acierto adivinando sube de 25 % a 50 %. Eso, multiplicado por 175 preguntas, vale cientos de puntos.

Todo el álgebra, la geometría y la estadística del PAA se construyen sobre el sistema de los números reales y un protocolo de cálculo que no admite negociación. Dentro de los reales conviven familias anidadas: los naturales (1, 2, 3…), los enteros (que añaden negativos y el cero), los racionales (fracciones y decimales que se terminan o periódicos) y los irracionales (√2, π), cuya expansión decimal no se repite nunca. Reconocer a qué familia pertenece cada número te evita errores groseros: si el PAA pide "cuántos enteros hay entre −2 y 3", la respuesta son cuatro (−1, 0, 1, 2), no cinco.

Entre los racionales viven las fracciones, y sus tres operaciones tienen receta cerrada que conviene memorizar: para sumar o restar con distintos denominadores, multiplica en cruz y abajo el producto — \(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\), así \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{6+4}{24}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\); para multiplicar, recto — \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\); y para dividir, invierte y multiplica — \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\). El apunte oficial lo usa con Carmen: compró 5 m de alambre y usó 3/4, así que le sobró \(5\times\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}\) m. Fíjate en el paso previo: "lo que sobra" es \(1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\) de la compra; el PAA siempre esconde una traducción antes de la operación.

Sobre esos números actúan las propiedades que abaratan el cálculo: la conmutativa (a+b = b+a y ab = ba), la asociativa (puedes reagrupar sin cambiar el resultado), la distributiva (a(b+c) = ab+ac, la más rentable del examen), el elemento neutro (sumar 0, multiplicar por 1) y el inverso (sumar el opuesto, multiplicar por el recíproco). Pero la propiedad más examinada no es una propiedad: es el orden de las operaciones. Piénsalo como el protocolo ABCDE de una reanimación: primero la vía aérea, después la respiración, luego la circulación; si alteras el orden, el paciente muere aunque hagas bien cada paso individual. En aritmética, el orden es: Paréntesis → Exponentes → Multiplicación y División (de izquierda a derecha) → Suma y Resta (de izquierda a derecha).

El PAA diseña preguntas específicamente para castigar a quien calcula de izquierda a derecha sin mirar la jerarquía. La expresión 2−3(5+2)(5−8) vale 65, no −19: primero resuelves los paréntesis, luego multiplicas 3·7·(−3) = −63, y solo al final restas: 2−(−63) = 2+63 = 65. Fíjate en dos detalles que el examen explota: restar un negativo suma, y el signo menos delante del 3 pertenece al producto entero, no solo al primer factor. Domina este protocolo y las preguntas "trampa" de aritmética se vuelven preguntas regaladas.

Una razón compara dos cantidades por cociente (a:b, se lee "a es a b") y funciona como una dilución marcada en el frasco: "1:4" no dice cuánto líquido hay en total, dice la relación fija entre concentrado y diluyente, y de ahí puedes reconstruir cualquier cantidad. Una proporción afirma que dos razones son iguales: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), que equivale a ad = bc — el producto cruzado que resuelve desde recetas hasta mapas a escala. El apunte oficial lo usa con un premio de $5000 repartido en razón 3:7: si A aportó $3 y B aportó $7, B recibe \(\frac{7}{10}\times 5000 = 3500\) dólares — primero la razón te da la fracción del total, después multiplicas. Las proporciones responden todo lo que en el PAA se pregunta como "si 3 trabajadores producen X, ¿cuánto producen 5?" y "¿cuánto vale x si 4/x = 10/15?": multiplica en cruz (10x = 60 → x = 6) y listo.

Los porcentajes son fracciones cuyo denominador está clavado en 100: 45 % = 0,45 = 45/100, y por eso p % de N = (p/100)·N. El PAA los disfraza de tres formas: "¿cuánto es el 30 % de 80?" (multiplicas: 0,30·80 = 24), "el 30 % de un número es 24, ¿cuál es el número?" (divides: 24 ÷ 0,30 = 80) y "de 80 a 104, ¿qué porcentaje aumentó?" (comparas: (104−80)/80 = 24/80 = 30 %). Domina las tres direcciones y tendrás la mitad de las preguntas de proporcionalidad resueltas; la otra mitad son razones y proporciones del párrafo anterior.

El movimiento estrella del PAA es el descuento sucesivo, donde la intuición traiciona. Si un artículo tiene 50 % de descuento "y además 10 % adicional", el descuento total NO es 60 %: los descuentos se multiplican, no se suman. Pagarás el 0,50 × 0,90 = 0,45 del precio, es decir 45 %, y el ahorro total es 55 %. La regla clínica equivalente: cuando dos "rebajas" actúan una tras otra sobre lo que queda, multiplícalas como diluciones —0,70 seguido de 0,80 deja 0,56—, nunca las sumes. Ese solo concepto vale entre una y dos preguntas en cada PAA real.

Las reglas de divisibilidad funcionan como un protocolo de tamizaje clínico: pruebas baratas y rápidas primero, estudios costosos solo si los primeros no deciden. Nadie divide 14175 entre 3 a mano: haces el tamizaje —suma de dígitos 1+4+1+7+5 = 18, múltiplo de 3— y lo declaras divisible en dos segundos. El panel completo de tamizaje del PAA: un número es divisible entre 2 si termina en dígito par; entre 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3; entre 4 si sus dos últimos dígitos forman múltiplo de 4; entre 5 si termina en 0 o 5; entre 6 si pasa las pruebas del 2 y del 3 a la vez; entre 9 si la suma de dígitos es múltiplo de 9; y entre 10 si termina en 0.

Si el tamizaje pasa, la confirmación es factorizar en primos, la "forma estándar" de todo número: descomponerlo como producto de primos, como cuando ordenas el botiquín hasta llegar a frascos individuales que ya no se pueden abrir. Así, 360 = 2³·3²·5. Y aquí aparece la fórmula más rentable de toda la aritmética del PAA: si N = 2ᵃ·3ᵇ·5ᶜ, el número de divisores de N es (a+1)(b+1)(c+1). Para 360: (3+1)(2+1)(1+1) = 4·3·2 = 24 divisores — el ejercicio propuesto del material. El examen lo aplica así: 4p (con p primo) = 2²·p¹, así que sus factores son (2+1)(1+1) = 6. ¿Por qué el +1? Porque cada exponente admite usar 0, 1, 2… hasta a copias del primo, y contar cero copias también es una opción válida.

Completa el kit la distinción factor vs múltiplo, que el PAA intercambia a propósito: los factores de 12 son sus divisores (1, 2, 3, 4, 6, 12 — seis llaves que abren la cerradura 12) y sus múltiplos son los números que 12 abre (12, 24, 36, 48…). El máximo común divisor (MCD) resuelve "repartir en el grupo más grande posible" y el mínimo común múltiplo (MCM) resuelve "coincidir en el mismo instante": dos alarmas que suenan cada 12 y cada 18 minutos vuelven a coincidir a los MCM(12,18) = 36 minutos. Con factorización en primos, ambos salen solos: MCD tomando los primos comunes con el menor exponente; MCM, todos los primos con el mayor exponente.

El álgebra comienza como un trabajo de traducción, y en eso se parece a tomar la historia clínica: el paciente dice "me duele la cabeza desde que el doble de días que tengo fiebre", y el clínico traduce esa frase coloquial a términos técnicos antes de decidir cualquier tratamiento. El PAA traduce así: "el doble de p" es 2p; "5 menos que el doble de p" es 2p−5 (¡no 5−2p!); "el triple de x aumentado en 7" es 3x+7; "la mitad de la suma de a y b" es (a+b)/2. La frase completa manda: "menos que" invierte el orden de lectura, igual que "menor que" en un diagnóstico. Domina el diccionario y media sección de Matemáticas se convierte en lectura.

Traducida la frase al álgebra, llega la ecuación lineal (ax+b = c) y su método de tres pasos que los apuntes oficiales fijan: 1) despeja los términos con x hacia un lado (invirtiendo signos al pasarlos), 2) reduce términos semejantes, 3) divide entre el coeficiente. Así, 3(2x−1) = 4x+5 → distribuye: 6x−3 = 4x+5 → agrupa: 2x = 8 → x = 4, y la verificación lo certifica: 3(2·4−1) = 21 y 4·4+5 = 21 ✓. La ecuación es una balanza de laboratorio: los dos platos pesan lo mismo y toda operación en un plato se repite exactamente en el otro. El ejemplo del examen es verbal: "un celular cuesta $15.000 más que otro y juntos cuestan $1.500.000" → x + (x+15.000) = 1.500.000 → 2x = 1.485.000 → x = 742.500.

Con dos incógnitas y dos condiciones, entra el sistema de ecuaciones — dos agendas de guardia que se cruzan en un solo punto: la solución (p, r) es el único turno donde ambas se cumplen. Los apuntes dan dos métodos. Sustitución (cuando una ecuación ya te da una variable despejada): 4p+2r = 7,90 con 2r = p+0,15 → metes la segunda en la primera: 4p+(p+0,15) = 7,90 → 5p = 7,75 → p = $1,55. Eliminación (cuando los coeficientes se prestan): multiplica una ecuación para que una variable quede con coeficientes opuestos y suma ambas. Y la regla de oro del PAA: la pregunta casi nunca pide x, pide el precio del caro, la edad del mayor o la suma de ambos — lee el enunciado dos veces, primero para plantear y después para responder lo que de verdad pregunta.

Una ecuación cuadrática tiene la forma ax²+bx+c = 0 y su gráfica es una parábola: la curva que dibuja toda gota de medicamento que cae de una bureta, toda pelota que se lanza, todo ingreso que sube y luego baja. Los apuntes oficiales ordenan tres métodos por preferencia: factorización (si ves los números, gana), aislamiento (cuando no hay término en x, como 4x²−8 = 56 → 4x² = 64 → x² = 16 → x = ±4) y fórmula general (el protocolo universal que funciona siempre, como la intubación según protocolo: no es elegante, pero no falla). Regla sagrada: salvo que el problema pida el valor positivo, una cuadrática tiene dos raíces — el material lo confirma: de x² = 16 el examen espera x = ±4 (y si pide el positivo, x = 4). El distractor favorito del PAA es la mitad de las raíces.

Las desigualdades se resuelven como ecuaciones con una sola diferencia que vale todo el punto: al multiplicar o dividir por un número negativo, el símbolo se voltea. En −3x+7 > −8 restas 7 (−3x > −15) y divides entre −3, volteando a x < 5. ¿Por qué se voltea? Porque el orden de los números se refleja al pasar al lado negativo: 2 < 5, pero −2 > −5. En el PAA la desigualdad rara vez viene sola: viene vestida de problema verbal ("¿hasta cuántos pacientes puede aceptar la sala sin superar 30 camas?") y su respuesta es un intervalo, no un número solitario. Prueba siempre un valor de tu intervalo en la desigualdad original: es la verificación de 5 segundos.

El valor absoluto |x| es la distancia de x al cero: siempre ≥ 0. Como toda distancia, produce ecuaciones con DOS casos: |2x−1| = 7 dice que (2x−1) está a 7 pasos del cero, a la derecha o a la izquierda → 2x−1 = 7 (x = 4) o 2x−1 = −7 (x = −3). Los apuntes fijan las dos reglas maestras: |x+a| ≤ b equivale a −b ≤ x+a ≤ b (la solución vive ENTRE los límites, una zona "y") y |x+a| ≥ b equivale a x+a ≤ −b o x+a ≥ b (la solución vive FUERA de los límites, dos colas, una zona "o"). Es literalmente la lógica clínica de la temperatura: "normal" es |T−37| ≤ 1, un intervalo (36 ≤ T ≤ 37); "fiebre" es T−37 ≥ 1, una cola. El símbolo te dice si la respuesta vive entre los límites o fuera de ellos.

Una sucesión es una lista de números que sigue una regla fija: 7, 10, 13, 16… y la regla es "suma 3". Cuando cada término se obtiene sumando una cantidad fija d al anterior, la sucesión es aritmética y su término general es aₙ = a₁+(n−1)d: la primera dosis más el incremento repetido (n−1) veces. Piénsalo como un esquema de dosificación: dosis de carga a₁, incremento diario d, y la dosis del día n es exactamente aₙ. En 7, 10, 13, 16…: a₁ = 7 y d = 3, así que a₁₀ = 7+(10−1)·3 = 7+27 = 34 — calculado sin escribir los diez términos. Esa es la rentabilidad del término general: convierte "contar" en "evaluar".

El PAA convierte la sucesión en desigualdad, y ahí vive la trampa del redondeo. El ejemplo del material: el primer día lees 5 páginas y luego 3 más cada día; ¿en qué día terminas un libro de 100? Plantea 5+3(n−1) ≥ 100 → 3(n−1) ≥ 95 → n−1 ≥ 31,67 → n ≥ 32,67. La respuesta es el día 33: el día 32 solo llevas 5+3(31) = 98 páginas — no llegan — y el día 33 cumples con 101. Cuando la desigualdad pregunta "¿en qué día/ paso alcanza?", el redondeo siempre es hacia ARRIBA: al paciente se le completa el esquema, nunca se le deja a 98 de 100.

Los patrones del PAA no siempre son números sueltos: son figuras que crecen (palitos, cuadrados de puntos, triángulos). La técnica: calcula las primeras diferencias (cuánto suma cada paso); si son constantes, es aritmética con esa d. Si varían, calcula las segundas diferencias: si esas son constantes, el patrón es cuadrático y crece como n² (1, 4, 9, 16…). Así, un patrón que empieza con 3 palitos y añade 2 por figura usa 3+(n−1)·2 en la figura n: la figura 20 usa 3+19·2 = 41. Y verifica siempre tu fórmula con los dos primeros términos antes de responder: una fórmula que falla en n = 2 está mal construida, aunque "se vea bien".

Una función es una máquina de cápsulas de café: metes una cápsula (la entrada x) y sale siempre el mismo café (la salida f(x)); la misma entrada jamás produce dos salidas distintas. La notación f(x) se lee "f de x" y significa "el resultado de aplicar la regla f a x". Evaluar es mecánico pero exige disciplina con los signos: si f(x) = 3x²+2x−4, entonces f(3) = 3(9)+6−4 = 27+6−4 = 29, exactamente el ejemplo del material oficial. El error clásico es leer f(3) como "f por 3" y multiplicar: f no es una variable, es la regla. La máquina también acepta expresiones: f(a+1) exige sustituir x por (a+1) en cada aparición.

Dentro de las funciones, la familia lineal f(x) = mx+b es la más preguntada: m es la pendiente (cuánto sube la salida por cada unidad que sube la entrada) y b el intercepto (el valor cuando x = 0, donde la línea cruza el eje y). Para f(x) = 2x+3, cada paquete extra cuesta $2 y la cuota fija es $3: f(0) = 3, f(1) = 5, f(4) = 11. La pendiente entre dos puntos se calcula m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), "cambio de y entre cambio de x". Si la pregunta del PAA dice "¿cuánto aumenta y cuando x aumenta en 1?", está preguntando la pendiente sin decir su nombre. Y cuando la pendiente se esconde en ax+by = c, despeja primero: la pendiente es −a/b (para 9x−3y = 12 → y = 3x−4 → m = 3).

Antes de evaluar, pregunta qué entradas son válidas: eso es el dominio. Dos reglas bastan en el PAA: bajo una raíz cuadrada el argumento no puede ser negativo (√(x−1) existe solo si x ≥ 1) y en un denominador nada puede anularse (1/(x−2) exige x ≠ 2). Y cuando el examen "mueve" una gráfica, mueve la máquina sin cambiar la regla: son las transformaciones — f(x)+k sube k unidades, f(x)−k baja k, f(x+h) corre la gráfica h a la IZQUIERDA (¡parece que hace lo contrario!), f(x−h) a la DERECHA, −f(x) refleja sobre el eje x y f(−x) sobre el eje y. Piénsalo como ajustar la inclinación de la camilla: el paciente (la regla f) es el mismo; solo cambia la posición desde la que lo observas.

El PAA cierra el tema con la variación. En la variación directa, las variables suben y bajan juntas manteniendo un cociente fijo: y = kx, como un goteo IV calibrado a 60 mL/h — el doble de horas, el doble de mililitros. En la variación inversa, cuando una sube la otra baja manteniendo un producto fijo: xy = k, la ley de Boyle de los gases o el clásico trabajadores-tiempo: 4 obreros pintan en 12 horas (k = 48), 8 obreros tardan 6 (48/8). Para resolver cualquier variación: primero calcula k con el par de datos conocido, después usa k con el nuevo valor. Y verifica el sentido físico: en la inversa, si x se duplica, y se reduce a la mitad — nunca ambas suben.

La geometría del PAA descansa en pocas leyes de ángulos que funcionan como dosis complementarias: dos ángulos complementarios son dos jeringas que juntas llenan una ampolla de 90 unidades (suman 90°); dos suplementarios llenan una de 180 (suman 180°); y los ángulos opuestos por el vértice son gemelos idénticos (miden lo mismo). Cuando una transversal corta dos rectas paralelas, se generan pares de ángulos iguales (alternos internos, correspondientes) y suplementarios (internos del mismo lado): el PAA te da un ángulo de 35° y espera que por contagio deduzcas los siete restantes sin medir nada.

En todo triángulo, los tres ángulos internos suman 180°, el ángulo exterior es igual a la suma de los dos internos no adyacentes, y cualquier lado es menor que la suma de los otros dos (desigualdad triangular). El triángulo estrella es el rectángulo, porque activa el teorema de Pitágoras: a²+b² = c², con c la hipotenusa. Memoriza los tripletes enteros —(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25) y sus múltiplos—: si el PAA da catetos 9 y 12, reconoces el 3-4-5 escalado ×3 y respondes hipotenusa 15 sin calcular una raíz. El tiempo que ahorras son puntos.

Aún mejor que los tripletes son los triángulos especiales, kits estandarizados donde conocer un lado equivale a conocerlos todos. El 45-45-90 tiene lados en razón 1 : 1 : √2 (es la mitad de un cuadrado): catetos iguales, hipotenusa cateto×√2. El 30-60-90 tiene razón 1 : √3 : 2 (es la mitad de un equilátero): el lado corto está frente al 30°, el largo frente al 60° y la hipotenusa es el doble del corto. Así, si la hipotenusa es 10, el corto mide 5 y el largo 5√3. El material oficial combina todo: ángulos complementarios con x y (x−20) cuya ecuación x+(x−20) = 90 da x = 55°. La estrategia general: identifica primero QUÉ tipo de triángulo tienes, y deja que su kit haga el resto.

Las fórmulas de área y volumen no se memorizan como poemas: se entienden como recetas de escalas. El área del triángulo es base×altura/2 (el rectángulo en el cabe); la del trapecio promedia sus bases paralelas: A = ½(b₁+b₂)·h — con bases 10 y 6 y altura 4, A = ½(16)(4) = 32, el ejemplo del material. En los círculos domina la pareja A = πr² y C = 2πr, y la regla clínica número uno: el radio, no el diámetro. Si el PAA dice "piscina de 10 pies de diámetro rodeada por una verja a 7 pies", el radio total es r = 5+7 = 12 y la verja mide C = 2π(12) = 24π. El 60 % de los errores en círculos es usar r = 10.

Los volúmenes son áreas apiladas: prisma y cilindro = área de la base × altura (el material da el prisma de 25×10×5 = 1250 y el cilindro de 300π), el cono = ⅓·πr²h y la esfera = 4/3·πr³. Y aquí vive el concepto más elegante del examen: el escalamiento. Si multiplicas todas las longitudes por k, las áreas se multiplican por k² y los volúmenes por k³, como al diluir un medicamento: duplicar la "concentración lineal" cuadruplica la superficie y octuplica el volumen. Dos esferas con radios 2 y 6 (razón 1:3) tienen volúmenes en razón 1:27. El PAA pregunta esto una y otra vez con "figuras semejantes": es la razón de áreas o volúmenes, nunca la de lados.

En el plano cartesiano, la distancia entre (x₁,y₁) y (x₂,y₂) es Pitágoras disfrazado: d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). Del (1,2) al (7,10): √(6²+8²) = √100 = 10 — otro triplete 6-8-10. El punto medio promedia coordenadas: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Y el teorema de Tales cierra el kit: toda recta paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos proporcionalmente, la herramienta oficial para "sombra del poste/sombra de la persona". Con este arsenal, la sección de geometría del PAA es un banco de fórmulas con disfraz: tu trabajo es quitar el disfraz y aplicar la receta correcta con el radio correcto.

La trigonometría es la triangulación del radiólogo: si conoces un ángulo y un lado de un triángulo rectángulo, deduces todos los demás sin tocar al paciente. Sobre el ángulo de referencia θ, cada lado recibe un papel: el opuesto (el que está frente a θ), el adyacente (el que forma el ángulo, sin ser la hipotenusa) y la hipotenusa (la mayor, frente al ángulo de 90°). Con esos papeles, tres razones lo hacen todo y su mnemotecnia es SOH-CAH-TOA: Sen = Opuesto/Hipotenusa, Cos = Adyacente/Hipotenusa, Tan = Opuesto/Adyacente. La advertencia crítica: los papeles dependen del ángulo que escojas — el cateto que era adyacente para θ se vuelve opuesto para el otro ángulo agudo.

El PAA exige de memoria los valores exactos de 30°, 45° y 60°, y son solo tres familias: sen30 = cos60 = 1/2; sen45 = cos45 = √2/2; sen60 = cos30 = √3/2; y tan45 = 1 (con tan30 = √3/3 y tan60 = √3). Nótala simetría: el seno de un ángulo es el coseno de su complemento. Con esos valores se resuelven preguntas completas: una escalera de 10 m apoyada a 60° del suelo alcanza 10·sen60° = 10·(√3/2) = 5√3 ≈ 8,66 m de altura. Y las identidades verifican todo: sen²θ + cos²θ = 1 (viene de Pitágoras dividido entre hipotenusa²) y tanθ = senθ/cosθ. Compruébalo con 45°: (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1 ✓.

Para triángulos NO rectángulos, el kit son las dos leyes. La ley de senos (a/sen A = b/sen B = c/sen C) exige que cada lado esté pareado con su ángulo opuesto, y resuelve los casos "ángulo-ángulo-lado" y "lado-ángulo-ángulo". La ley de cosenos (c² = a²+b²−2ab·cos C) es Pitágoras generalizado con su término corrector −2ab·cosC, y resuelve el caso "lado-ángulo-lado": dos lados y el ángulo ENTRE ellos. La regla de selección del PAA: ¿conoces el ángulo entre los dos lados dados? → ley de cosenos; ¿conoces un par lado-ángulo opuesto? → ley de senos. Con la tabla de valores exactos, las dos leyes y las identidades, trigonometría entera cabe en media hoja.

Las medidas de tendencia central son tres retratos del "paciente típico" de una sala: la media es el promedio de todos los signos vitales; la mediana es el paciente que está exactamente en medio de la fila del pasillo (mitad arriba, mitad abajo); y la moda es el diagnóstico que más se repite. El material oficial usa el conjunto {0, 3, 10, −3, 1, 3}: la media es 14/6 ≈ 2,33, la mediana (con los datos ordenados −3, 0, 1, 3, 3, 10) es (1+3)/2 = 2, y la moda es 3. La lección clínica más importante: la media es frágil ante valores extremos — añade un solo paciente de 100 kg a la fila y el "peso promedio" salta, mientras la mediana apenas se mueve. Por eso los reportes de sueldos y de esperanza de vida usan medianas.

La dispersión mide cuánto se agita la sala: el rango es máximo−mínimo (en el material: de −3 a 10 → 13… y en el ejemplo de mediana par, de 12 a 22 → 10; ordena SIEMPRE antes de restar) y la desviación estándar (σ) resume la distancia típica a la media. El material lo ilustra con dos grupos de pacientes con media 10 pero σ distinta: mismos promedios, salas totalmente distintas. Y la joya del PAA es la regla 68-95-99,7 para distribuciones normales (acampanadas): ~68 % de los datos cae dentro de μ±1σ, ~95 % dentro de μ±2σ y ~99,7 % dentro de μ±3σ. Con media 74 y σ = 6 (la distribución de calificaciones del material), un z-score z = (x−μ)/σ = 2 señala x = 74+12 = 86, y sabes que ese 86 supera al ~97,5 % del grupo (50 % + la mitad del 95 %).

Finalmente, el PAA presenta los datos en gráficas y espera lectura quirúrgica con el método TEUC: Título (qué se compara), Ejes (qué hay en cada uno), Unidades (¿miles? ¿porcentajes? ¿personas?) y Comparación (la pregunta real: ¿quién crece más, dónde está el máximo?). Cuidado con las trampas clásicas: los histogramas agrupan datos continuos en intervalos (sus barras se tocan) mientras las barras comparan categorías; y un eje que empieza en 90 en lugar de 0 exagera cualquier diferencia. También distingue población (todos los pacientes posibles) de muestra (los que estudiaste): las conclusiones de una muestra se generalizan solo si fue bien tomada, la misma regla de todo ensayo clínico.

La probabilidad es la matemática de la incertidumbre clínica: es el pensamiento que usas cada vez que interpretas una prueba diagnóstica, donde P(enfermedad | prueba positiva) depende de cuán frecuente es la enfermedad. Su definición es una fracción: P(E) = casos favorables/casos posibles, y vive entre 0 (imposible) y 1 (seguro). El material oficial da el ejemplo canónico: dos dados, P(suma = 5) — los pares favorables son (1,4), (2,3), (3,2) y (4,1): cuatro de los 36 resultados → 4/36 = 1/9. Fíjate en que (1,4) y (4,1) son resultados DIFERENTES: el dado rojo y el azul son pacientes distintos. Y la primera herramienta de rescate es el complemento: P(no ocurre) = 1 − P(ocurre), perfecto para preguntas del tipo "al menos uno".

Cuando dos eventos conviven, entra la fórmula de la unión: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). El material lo aplica con P(A) = 0,35, P(B) = 0,20 y P(A∩B) = 0,10 → P(A∪B) = 0,45, y de ahí el complemento da P(ninguno de los dos) = 1 − 0,45 = 0,55. El término que se resta existe para no contar dos veces a quien está en ambos grupos (los diagramas de Venn lo muestran: la intersección se suma dos veces si sumas a ojo). Para eventos independientes (una moneda y un dado: lo uno no toca lo otro) las probabilidades se multiplican: P(cara y 6) = ½·1/6 = 1/12. Para eventos dependientes (extraer 2 balas rojas de una bolsa sin reponer: 3 rojas y 2 azules → 3/5 · 2/4 = 3/10), el segundo evento se calcula sobre el mundo ya modificado por el primero.

El conteo responde "¿cuántas maneras hay…?" y su decisión clave es una: ¿importa el orden? Si eliges presidente, secretario y tesorero (cada cargo es distinto), importa → permutación. Si eliges 3 voluntarios de 12 para el mismo turno, no importa → combinación: C(12,3) = 12!/(3!·9!) = 220. La regla del menú de cafetería multiplica cuando hay opciones por ETAPAS: con 26 letras y 10 dígitos, una placa de 2 letras y 2 dígitos admite 26·26·10·10 = 67 600 placas (el ejemplo del material). Las permutaciones con orden son P(8,3) = 8·7·6 = 336, y el factorial es la permutación total: 5! = 120 formas de ordenar 5 expedientes. Decide primero "¿orden sí o no?" y cada pregunta de conteo se responde sola.

La sección de Lectura no premia al que lee más rápido: premia al que extrae evidencia con menos coste. La técnica oficial del material es la de dos pasadas, y su analogía perfecta es la anamnesis clínica: en la primera pasada escuchas TODO el caso sin interrumpir (2 minutos: título, primer párrafo completo y primera oración de cada párrafo restante), construyendo el mapa: ¿de qué habla?, ¿qué tesis defiende?, ¿cómo se organiza? En la segunda pasada atiendes pregunta por pregunta, y cada respuesta se sostiene volviendo al texto con el dedo: en Lectura, la evidencia vive dentro del pasaje, y tu conocimiento del mundo (biología, historia, medicina) es irrelevante e incluso peligroso: el examen penaliza al que responde "lo que es verdad" en lugar de "lo que el texto dice".

Para eso necesitas reconocer los seis tipos de ejercicio que el material enumera: (1) idea principal o propósito, que vive en el primer párrafo y en la oración de cierre; (2) detalle explícito, que se resuelve por localización literal; (3) vocabulario en contexto, donde la palabra vale lo que SU PÁRRAFO dice, no el diccionario; (4) inferencia, deducción lógica que NO sale del texto pero tampoco se copia de él; (5) función del autor o de una cita (¿por qué incluyó esto?); y (6) resumen o título, que debe cubrir TODO el pasaje sin exagerar su alcance. Cada tipo tiene su distractor típico: en inferencia, la opción que "es verdad pero nadie puede deducirla del texto"; en idea principal, el detalle correcto pero parcial; en resumen, el título que solo cubre un párrafo.

El mapa se completa con la estructura de los párrafos, que el material clasifica: general→específico (afirmación y ejemplos), causa→consecuencia, problema→solución, cronológico y comparación/contraste. Identificar el patrón en la primera pasada te dice dónde viven las respuestas: en causa→consecuencia, las preguntas "¿por qué?" se responden en la primera mitad; en problema→solución, la tesis suele ser la solución propuesta. Y en vocabulario en contexto usa el método de sustitución: "El arqueólogo hurgó entre los restos con paciencia" — prueba cada opción en la frase; "buscó con insistencia" la conserva, "agredió" o "destruyó" la rompen. La palabra correcta es la que el contexto certifica, nunca la más rebuscada.

Las figuras retóricas son los signos vitales del lenguaje: no cambian el mensaje literal, pero revelan el estado interno del texto —su tono, su intención, su emoción— igual que el pulso revela lo que el rostro calla. El PAA te dará una oración y cuatro nombres; tu trabajo es diagnosticar la figura con un test de tres preguntas: ¿hay comparación?, ¿se atribuye algo humano a lo no humano?, ¿hay exageración o juego de sentidos? El material oficial provee los ejemplos canónicos: "sus ojos son rayitos de sol" (metáfora), "brilla como un farol" (símil), "el campo dormía" (personificación), "una mirada dulce" (sinestesia).

El diagnóstico fino está en los pares. Metáfora vs símil: ambos comparan, pero el símil trae nexo explícito (como, cual, parece, semejante a) y la metáfora salta el puente e identifica directamente (A es B): "sus ojos son rayitos de sol" no dice "se parecen a", dice que SON. Personificación vs sinestesia: la primera da acciones o sentimientos humanos a cosas no humanas ("el campo dormía", "el viento susurraba"); la segunda cruza sentidos distintos ("mirada dulce" mezcla vista y gusto, "voz aterciopelada" mezcla oído y tacto). Hipérbole vs onomatopeya: la hipérbole exagera para emocionar ("te lo he repetido un millón de veces"); la onomatopeya imita sonidos reales ("el tic-tac del reloj", "bufó el motor").

Completa el panel las figuras de estructura: la anáfora repite una o más palabras al inicio de versos u oraciones consecutivas ("Vine a ver. Vine a tocar. Vine a quedarme") y la antítesis enfrenta ideas opuestas dentro de la misma construcción ("Me pidieron la luna y te dieron ceniza"). Estrategia de examen: primero clasifica por familia (¿compara?, ¿humaniza?, ¿exagera?, ¿estructura?) y luego afina dentro de la familia con los tests anteriores. Y no confundas hipérbole con mentira: la exageración es deliberada y expresiva; el examen premia a quien reconoce la intención, no a quien la juzga.

La sección de Redacción (25 preguntas, 30 minutos) no pide escribir: pide editar como el mejor residente edita una nota de evolución. Las cinco técnicas que el material oficial define son cinco movimientos de ese oficio. La elisión suprime lo redundante: cuando una nota dice "volvió a repetir el mismo examen de sangre", "volvió a" y "repetir" dicen lo mismo dos veces; el editor elimina la sobra y conserva el sentido. La adición va en dirección contraria: enriquece la oración con modificadores o figuras que la hacen más precisa o expresiva ("El hospital espera" → "El hospital, silencioso como una madrugada, espera").

Las otras tres técnicas operan sobre párrafos y conjuntos de enunciados. La generalización pide el enunciado que contiene a los demás: si tres oraciones hablan de antibióticos, de vacunas y de antisépticos, la generalización es "existen múltiples estrategias para combatir las infecciones" — una frase paraguas bajo la cual caben todas. La integración es su prima directa aplicada a títulos: elegir el que abarca todo el párrafo sin quedarse en un detalle ni inventar un alcance que el texto no tiene. Y la particularización es el paso de lo abstracto a lo figurado y específico: convertir "el niño estaba muy triste" en "el niño arrastraba sus zapatos como si cargara el hospital entero".

La estrategia de sección cierra el curso. Con 25 preguntas en 30 minutos (~1,2 min/pregunta), la decisión previa es identificar QUÉ pide la consigna: si dice "suprimir lo sobrante" → elisión; "añadir expresividad" → adición; "enunciado que englobe a los demás" → generalización; "título del párrafo" → integración; "expresarlo con lenguaje figurado" → particularización. Los distractores están etiquetados con técnicas equivocadas: el título que solo cubre la mitad del párrafo NO integra; la "corrección" que elimina información nueva NO es elisión (solo se elimina redundancia, nunca contenido). Y recuerda la meta que abraza todo el curso: 2150 para la beca. Con las 16 lecciones de hoy —estructura, aritmética, álgebra, funciones, geometría, trigonometría, estadística, probabilidad y toda la aptitud verbal— tienes el mapa completo; el PAA premia al que lo recorrió antes del examen.